观测数据之外，把机制方程加入训练
药代和药效建模常需要从有限观测反推未知参数，有时还缺少模型中的某一项关系。发表于 CPT: Pharmacometrics & Systems Pharmacology 的教程介绍 PhINs 工具，以物理约束神经网络（physics-informed neural networks，PINNs）处理这些问题。
网络不仅拟合观测，还需满足已知微分方程和初始条件。对于只了解一部分机制的模型，可以保留可靠方程，让网络估计缺失项。本教程的机制约束包括药代与药效关系。
药代例子先检验固定参数能否找回
第一个例子采用吸收、中央和已消除药量三个状态，用已知模型生成合成数据，再加入噪声。训练时把吸收转移和消除速率当作未知量，检查网络能否恢复生成数据时采用的参数。
教程同时比较普通多层网络与 Kolmogorov–Arnold 网络构成的物理约束模型。减少观测点或提高噪声后，参数恢复更敏感；两类架构各有表现较好的条件，没有一种在所有设置中始终占优。
缺少方程项时，保留其余已知关系
第二个例子沿用同一药代系统，但不向网络提供中央状态变化的完整表达式，让它从其余观测和已知方程中恢复这个未知函数。两类网络在该例中得到相近结果，未知项的均方根误差约为 4.1×10⁻⁴。
这一比较具有已知答案，适合检查算法能否按预期工作。作者明确称其为简化的教学例子，不是已经验证的真实药效案例；实际应用中，还需要判断未知函数是否能由现有测量唯一确定。
肿瘤细胞例子只观察数量，推断时变净作用
第三个例子用一个肿瘤细胞变化模型生成数据，仅把细胞数量随时间的轨迹交给网络，另一个随时间变化的净作用函数则隐藏。该函数同时反映模型中的增殖、药物诱导死亡及细胞数量约束，不是某种实际药物的临床疗效。
团队比较密集、稀疏及带噪声的数据设置。观测由 120 个减少至 20 个后，细胞数量与隐藏函数的恢复会受影响；在 120 个观测、5% 噪声的设置中，KAN 架构的误差低于普通网络。结果仍来自受控合成资料，没有据此证明真实患者中的稳健预测。
核对方程求解，也核对隐藏量是否正确
教程把数值求解是否正确与模型是否适合目标系统分开。检查不应只停在观测拟合，还需比较已知参数、隐藏状态或函数；适当时可把估计结果代回常规微分方程求解器，查看是否仍能复现轨迹。
另一个关键是可辨识性：多个参数或函数可能产生相近观测，训练约束不能凭空补足缺失的信息。即使曲线贴合，也需要考察参数范围、机制合理性、误差及可用的留出条件。
当前优势是机制不完整时的辅助推断
作者将 PINNs 定位为传统药物计量与定量系统药理方法的补充。当前较明确的用途，是在保留机制结构的前提下估计未知参数、隐藏状态或缺失关系；群体层级、个体变异和多次给药的不连续变化，仍是需要继续研究的难点。
原教程提供了三个可复核的教学问题及公开代码入口，以合成真值检查参数、隐藏函数和观测轨迹的恢复，展示计算建模与质量检查方法。